Материалы
IV
Международной
научно-технической
конференции
25-28
октября
2005 г.
МОСКВА
INTERMATIC – 2
0
0 5
МИРЭА
ВОЗНИКНОВЕНИЕ
НЕОДНОРОДНЫХ ТЕРМОСТИМУЛИРОВАННЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ПОЛЕЙ В ПРИРОДНЫХ ПОЛИМЕРАХ
В
пироэлектрических кристаллах, к которым относится кристаллическая
модификация
целлюлозы (основная составляющая вещества древесины) линейная связь
между
индукцией и напряженностью электрического поля имеет вид [1]:
.
(1)
Наличие
постоянного
члена D0i
означает, что
диэлектрик спонтанно поляризован в отсутствие внешнего электрического
поля.
Кроме
того, поскольку целлюлоза обладает пьезоэлектрическими свойствами [2],
неоднородное
температурное поле может вызвать в древесине появление деформации В
свою
очередь, деформация пьезокристалла в поле спонтанной поляризации будет
сопровождаться
появлением электрического поля термического происхождения, индукцию dDi
которого можно представить
в виде [3]:
.
(2)
Здесь
γi
-
пироэлектрический коэффициент целлюлозы, εij
– тензор диэлектрической
проницаемости, dijk
– тензор пьезоэлектрических модулей, а dsjk=cijklαkldT
– механические напряжения, возникающие в
древесине при малом изменении температуры dT.
Очевидно,
пироэлектрический эффект, вызванный неоднородностью температурного поля
в древесине,
может наблюдаться и в естественных условиях. При понижении температуры
окружающей среды на ΔT
в стволе дерева обязательно возникнет неоднородное
температурное поле. Рассмотрим простой модельный случай, полагая, что
пьезомодули,
компоненты тензора диэлектрической проницаемости и пироэлектрический
коэффициент
от координат не зависят, а ствол дерева представляет из себя бесконечно
длинный
цилиндр (достаточно, чтобы высота нашего модельного цилиндра в десятки
раз
превышала радиус) радиуса r0.
Определим, какое
распределение температуры Т(r,t)
установится
вдоль радиуса ствола со временем, если это распределение практически не
зависит
от высоты (z).
Считая, что в рассматриваемой
модели в поперечном срезе изменениями теплопроводности (λ0),
теплоемкости (c0)
и плотности (ρ0)
вещества древесины в течение времени наблюдения t0
можно пренебречь, получим уравнение теплопроводности
[5]:
,
(3)
где
T(r,t)
- значение температуры в стволе
дерева в радиальном направлении в момент времени t на
расстоянии r от
центра ствола, -
коэффициент
температуропроводности древесины в радиальном направлении. Допустим, в
рассматриваемом
случае температура внутри ствола больше температуры окружающей среды T(r,t)≥T0.
Тогда, ее целесообразно представить в виде:
.
(4)
После
подстановки этого выражения в уравнение (3) получим:
(5).
(7)
Таким
образом, необходимо найти решение уравнения теплопроводности (5) с
граничным (6)
и начальным (7) условиями. Это классическая задача остывания круглого
цилиндра,
решение которой известно [5]:
.
(8)
Ряд
быстро сходится, поэтому при больших t
можно ограничиться первым его членом. Учитывая численные значения
корней
функции Бесселя [5],
.
(9)
Так
как r/r0
≤ 1.0, то, используя разложение функции Бесселя в ряд и
ограничиваясь первыми
двумя членами, получим выражение для профиля температуры в древесном
цилиндре в
момент времени t
на расстоянии от
оси цилиндра:
.
10)
На
рисунке 1
показано, как изменяется неоднородность температуры в древесном
цилиндре в течение
суток для различных пород древесины. Здесь -
максимальная
неоднородность температуры в древесном цилиндре на расстоянии r
от оси. При этом, длительность
существования неоднородности температурного поля в цилиндре
прямо
пропорциональна
плотности и удельной теплоемкости вещества древесины и обратно
пропорциональна ее
теплопроводности в радиальном направлении. Для расчета электрического
поля,
возникающего в древесном цилиндре при пироэлектрическом эффекте
(вследствие
наличия неоднородности температуры), воспользуемся уравнением Пуассона
которое,
поскольку свободных зарядов в древесине нет, примет вид:
.
(11)
С
учетом (2) и (4)
уравнение (11) перепишется в виде:
,
откуда
получается выражение для напряженности
электрического поля в радиальном направлении:
.
(12)
Рис.
1. Зависимость неоднородности температуры от времени
в древесном цилиндре для различных пород древесины.
Рис. 2. Распределение неоднородности электрического поля термического происхождения по радиальной составляющей в стволе дерева.
На
рисунке 2 представлено распределение неоднородности электрического поля
термического происхождения по радиальной составляющей в стволе дерева.
Здесь Е0
- модуль максимального
значения напряженности электрического поля в момент времени t,
которая
определяется выражением
и
зависит от пьезоэлектрических и пироэлектрических свойств древесины.
СПИСОК
ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Ландау
Л.Д., Лифшиц Е.М.
Электродинамика сплошных сред. М: Наука.
1982.
620с.
2.
Баженов
В.А.
Пьезоэлектрические свойства древесины. М:
Академия наук. 1959. 200с.
3.
Румянцев
В.С., Богомолов А.А.
// Известия АН
СССР. 1981. Т45. №9. С.1691-1694.
4.
Матвеев
Н.Н., Постников В.В., Саушкин В.В.
Поляризационные эффекты
в кристаллизующихся полимерах. Воронеж: ВГЛТА. 2000. 170с.
5.
Тихонов
А.Н., Самарский А.А.
Уравнения
математической физики. М: Наука. 1966. 724с.