Материалы IV Международной  научно-технической конференции

25-28 октября  2005 г.

 

МОСКВА                                               INTERMATIC  –  2 0 0 5                                                  МИРЭА

 

 

ВОЗНИКНОВЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕРМОСТИМУЛИРОВАННЫХ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ПРИРОДНЫХ ПОЛИМЕРАХ

 

ã 2005 г. В.В. ПОСТНИКОВ, Н.Н. МАТВЕЕВ, Н.Ю. ЕВСИКОВА Н.С., КАМАЛОВА

 

Воронежская государственная лесотехническая академия, Воронеж

 

В пироэлектрических кристаллах, к которым относится кристаллическая модификация целлюлозы (основная составляющая вещества древесины) линейная связь между индукцией и напряженностью электрического поля имеет вид [1]:

 

.                                                        (1)

 

Наличие постоянного члена D_0i означает, что диэлектрик спонтанно поляризован в отсутствие внешнего электрического поля.

Кроме того, поскольку целлюлоза обладает пьезоэлектрическими свойствами [2], неоднородное температурное поле может вызвать в древесине появление деформации В свою очередь, деформация пьезокристалла в поле спонтанной поляризации будет сопровождаться появлением электрического поля термического происхождения, индукцию dD_i которого можно представить в виде [3]:

 

.                             (2)

 

Здесь γ_i - пироэлектрический коэффициент целлюлозы, ε_ij – тензор диэлектрической проницаемости, d_ijk – тензор пьезоэлектрических модулей, а ds_jk=c_ijklα_kldT – механические напряжения, возникающие в древесине при малом изменении температуры dT.

Очевидно, пироэлектрический эффект, вызванный неоднородностью температурного поля в древесине, может наблюдаться и в естественных условиях. При понижении температуры окружающей среды на ΔT в стволе дерева обязательно возникнет неоднородное температурное поле. Рассмотрим простой модельный случай, полагая, что пьезомодули, компоненты тензора диэлектрической проницаемости и пироэлектрический коэффициент от координат не зависят, а ствол дерева представляет из себя бесконечно длинный цилиндр (достаточно, чтобы высота нашего модельного цилиндра в десятки раз превышала радиус) радиуса r₀. Определим, какое распределение температуры Т(r,t) установится вдоль радиуса ствола со временем, если это распределение практически не зависит от высоты (z). Считая, что в рассматриваемой модели в поперечном срезе изменениями теплопроводности (λ₀), теплоемкости (c₀) и плотности (ρ₀) вещества древесины в течение времени наблюдения t₀ можно пренебречь, получим уравнение теплопроводности [5]:

,                                       (3)

 

где T(r,t) - значение температуры в стволе дерева в радиальном направлении в момент времени t на расстоянии r от центра ствола,  - коэффициент температуропроводности древесины в радиальном направлении. Допустим, в рассматриваемом случае температура внутри ствола больше температуры окружающей среды T(r,t)≥T₀. Тогда, ее целесообразно представить в виде:

.                                                          (4)

 

После подстановки этого выражения в уравнение (3) получим:

 

                                                   (5).

 

Очевидно, искомая функция ограничена, поскольку не может превышать величины изменения температуры окружающей среды, т.е.

 

.                                                                 (6)

 

Если считать контакт «ствол-воздух» идеальным, то при r = 0 справедливо полагать, что

 

                                                                  (7)

 

Таким образом, необходимо найти решение уравнения теплопроводности (5) с граничным (6) и начальным (7) условиями. Это классическая задача остывания круглого цилиндра, решение которой известно [5]:

.                                             (8)

 

Ряд быстро сходится, поэтому при больших t можно ограничиться первым его членом. Учитывая численные значения корней функции Бесселя [5],

.                                                (9)

Так как r/r₀ ≤ 1.0, то, используя разложение функции Бесселя в ряд и ограничиваясь первыми двумя членами, получим выражение для профиля температуры в древесном цилиндре в момент времени t на расстоянии  от оси цилиндра:

 

.                                10)

 

На рисунке 1 показано, как изменяется неоднородность температуры в древесном цилиндре в течение суток для различных пород древесины. Здесь  - максимальная неоднородность температуры в древесном цилиндре на расстоянии r от оси. При этом, длительность существования неоднородности температурного поля в цилиндре  прямо пропорциональна плотности и удельной теплоемкости вещества древесины и обратно пропорциональна ее теплопроводности в радиальном направлении. Для расчета электрического поля, возникающего в древесном цилиндре при пироэлектрическом эффекте (вследствие наличия неоднородности температуры), воспользуемся уравнением Пуассона которое, поскольку свободных зарядов в древесине нет, примет вид:

                                                                        .                                                           (11)

 

С учетом (2) и (4) уравнение (11) перепишется в виде:

,

 

откуда получается выражение для напряженности электрического поля в радиальном направлении:

.                           (12)

Рис. 1. Зависимость неоднородности температуры от времени в древесном цилиндре для различных пород древесины.

Рис. 2. Распределение неоднородности электрического поля термического происхождения по радиальной составляющей в стволе дерева.

 

На рисунке 2 представлено распределение неоднородности электрического поля термического происхождения по радиальной составляющей в стволе дерева. Здесь Е₀ - модуль максимального значения напряженности электрического поля в момент времени t, которая определяется выражением

 

и зависит от пьезоэлектрических и пироэлектрических свойств древесины.

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1.     Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М: Наука. 1982. 620с.

2.     Баженов В.А. Пьезоэлектрические свойства древесины. М: Академия наук. 1959. 200с.

3.     Румянцев В.С., Богомолов А.А. // Известия АН СССР. 1981. Т45. №9. С.1691-1694.

4.     Матвеев Н.Н., Постников В.В., Саушкин В.В. Поляризационные эффекты в кристаллизующихся полимерах. Воронеж: ВГЛТА. 2000. 170с.

5.     Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М: Наука. 1966. 724с.